LA ECUADIÓN DE LA PARABOLA

Sabemos que la geometría analítica estudia las formas o figuras geométricas basadas en ecuaciones y coordenadas definidas sobre un Plano Cartesiano.Pues bien, una parábola es una forma geométrica. 

Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación, cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son:

Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría). 
Eje focal (o de simetría) (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos  y pasa por el vértice. 
Foco (F): Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice. 
Directriz (d):  Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la parábola. 
Distancia focal   (p): Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales).
Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola. 
Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco. 
Lado recto  (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.

                                        (trazo PD igual al trazo PF)
El trazo PD nace en el punto (x, y) y termina en el punto (–p, y) y podemos usar la fórmula para calcular distancia entre dos puntos:

                                                      
El trazo PF nace en el punto (x, y) y termina en el punto (p, 0), y también podemos usar la fórmula para calcular la distancia entre ellos:
                                                           
Sustituyendo en la expresión de distancias   resulta:
                                                         
Elevando ambos miembros de la ecuación al cuadrado y desarrollando, se tiene:

(x + p)² = (x – p)² + y²

x² + 2px + p² = x² – 2px + p² + y²

x² + 2px + p² – x² + 2px – p² = y²

Ecuación de la parábola       x² = 4py

Ecuación de la directriz        y + p = 0

 

Entonces la ecuación será

Y el Foco estará en el punto 4/3, 0

   

Vemos que 4/3 corresponde al valor de p, y como la directriz está a la misma distancia de p respecto al vértice, pero hacia el lado contrario, entonces, la directriz será: